TANGENTI GEOMETRICHE

Si possono dare varie definizioni intuitive di retta tangente a una curva nel piano.

La parola tangente viene da tangere cioè toccare. L'idea intuitiva di una retta tangente a una curva è quella di una retta che "tocca" la curva senza "tagliarla" o "secarla" (immaginando la curva come se fosse un oggetto fisico non penetrabile). Una retta che attraversa la curva "tagliandola" è invece chiamata secante.

Data inoltre una secante che passa per due punti distinti P e Q di una curva, si può pensare la tangente in P come la retta cui tende (eventualmente) la secante quando il punto Q si avvicina a P lungo la curva.

Nell'ambito della geometria sintetica si possono dare definizioni rigorose alternative di retta tangente a curve specifiche che funzionano solo per tali curve. Ad esempio la tangente ad una circonferenza di centro O e raggio r in un suo punto P può essere definita come la retta passante per P e avente distanza r da O, o come l'unica retta del piano avente in comune con la circonferenza il solo punto P.

In una geometria a più dimensioni, si può definire il piano tangente ad una superficie in modo simile e, generalizzando, lo spazio tangente.

Circonferenze tangenti esternamente 

O1 O2____ = r1 + r2 d = r1+ r2 

Le circonferenze sono fra loro tangenti esternamente se la distanza d fra i due centri e' uguale al valore della somma dei due raggi

Viceversa: se la distanza fra i due centri e' uguale al valore della somma dei due raggi allora le circonferenze sono tangenti esternamente fra loro

1.   Disegnare la tangente ad una circonferenza per il suo punto P.   Raggio circonf. r=35
2.   Disegnare la circonf. tangente ad una retta passante per un punto A esterno e per un    punto P sulla retta.
3.   Disegnare una circonf. tangente ad una circonf. (r=32) nel suo punto P e passante per  un  punto A esterno ad essa.
4.   Disegnare le rette tangenti ad una circonf. (r=38) e passanti per un punto P esterno ad  essa.
5.   Disegnare le tangenti esterne a due circonferenze di raggio diverso. r=30;  r’=18
6.   Disegnare le tangenti interne a due circonferenze di raggio diverso. r=30;  r’=18

Es.1 Tav.6

1.    Costruire una circonferenza di r=35 (Di segno evidente).

2.    Scegliere un punto P a piacere su di essa.

3.    Collegare O, centro della circonferenza,con  il punto P, e prolungare verso l’esterno.

4.    Costruire la perpendicolare della semiretta  OP , passante per il punto P.

5.    Questa perpendicolare è la tangente cercata che va tracciata in segno evidente continuo.

Es.2 Tav.6

1.    Disegnare una retta generica e stabilire su di essa il punto P e il punto A esterno.

2.    Collegare il punto A con il punto P e costruire l’asse.

3.    Costruire la perpendicolare alla retta passante per il punto P.

4.    Perpendicolare e asse si intersecano nel punto O’.

5.    O’ è il centro della circonf., di raggio O’-P ,tangente alla retta e passante per i punti A e P.

6.    Evidenziare la circonf. e la retta iniziale.

Es.3 Tav.6

1.    Disegnare una circonferenza di raggio 32 e centro O; fissare un punto P su di essa e un punto A esterno ad essa.

2.    Collegare A con P e costruire l’asse di questo segmento.

3.    Collegare il centro O della circonferenza con il punto P e prolungare fino ad incontrare l’asse del segmento P-A.

4.    Questa intersezione è il punto O’, centro della circonferenza cercata, tangente alla prima.

5.    Evidenziare entrambe le circonferenze.

Es.4 Tav.6

1.    Disegnare una circinf. di raggio 38 e fissare un punto P esterno.

2.    Collegare P con il centro O della circonferenza.

3.    Costruire l’asse del segmento OP, individuando così il punto M.

4.    Con centro in M  tracciare la circonferenza di raggio MO.

5.    Questa circonf. interseca la prima nei punti 1 e 2.

6.    Per P-1 e per P-2 passano le tangenti alla circonf. cercate. Evidenziarle come la circonf. di partenza.

Es.5 Tav.6

1.    Disegnare le due circonf. di raggio r=30 e r’=18 e centri O e O’

2.    Collegare i due centri e costruire l’asse del segmento O-O’ individuando così il punto M.

3.    Portare con il compasso la dimensione del raggio più piccolo (18) a partire dal punto 1 (intersezione fra la congiungente O-O’ e la circonf. di centro O) ottenendo così il punto 2 sulla congiungente dei 2 centri (differenza di raggi).

4.    Disegnare la circonferenza di centro O e raggio O-2.

5.    Con centro in M e raggio M-O tracciare la circonferenza che taglia l’ultima circonferenza nei punti 3 e 4.

6.    Collegare il punto O con il punto 4 e proseguire fino al punto 4’.

7.    Collegare il punto O con il punto 3 e proseguire fino al punto 3’.

8.    Tracciare le parallele alle semirette O-4’ e O-3’ a partire dal punto O’.

9.    Queste intersecano la circonferenza di centro O’ nei punti 5 e 6.

10.  Tracciare le rette passanti per i punti 4’-5 e per 3’-6, ottenendo così le tangenti cercate.

11.  Evidenziare le prime due circonferenze tracciate e le tangenti.

Es.6 Tav.6

1.    Disegnare le due circonf. di raggio r=30 e r’=18 e centri O e O’

2.    Tracciare un raggio della circonf. di raggio 30 (O-1)e tracciare il raggio parallelo, ma in direzione opposta, della circonf. di raggio 18 (O’-2).

3.    Collegare i punti 1 e 2 così trovati. e collegare anche i 2 centri O e O’ delle circonferenze.

4.    Questi 2 collegamenti si intersecano nel punto I.

5.    Costruire gli assi dei segmenti O-I e I-O’ individuando così i punti medi M e M’.

6.    Disegnare le circonferenze di centri M e M’ e raggi M-O e M’-O’.

7.    Queste due circonf, intersecano le due precedenti nei punti 3, e 4, 5 e 6.

8.    Per i punti 5-I-4 e per i punti 3-I-6 passano le tangenti interne alle circonferenze.

9.    Evidenziare le prime due circonferenze e le tangenti trovate.